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CAPÍTULO 6 - Questões 1 a 4

01 – Usando o algoritmo de Euclides, determinar:

(a) mdc(306, 657)
Neste primeiro exercício usaremos o processo das divisões sucessivas para que se possa entender os valores dispostos no quadro do algoritmo de Euclides.
Pelo processo das divisões sucessivas, temos
657 = 306.2 + 45
306 = 45.6 + 36
45 = 36.1 + 9
36 = 9.4 + 0, como o resto é zero, mdc(306, 657) = 9.
Pelo algoritmo de Euclides teremos:

(d) mdc(-816, 7209)

mdc(-816, 7209) = mdc(816, 7209) = 3.

(e) mdc(7469, 2387)

(f) mdc(-5376,-3402)

mdc(-5376,-3402) = mdc(5376, 3402)

mdc(-5376, -3402) = 6

02 – Usando o algoritmo de Euclides, determinar:

Observação: não apresentaremos os cálculos por serem semelhantes aos dos exercícios anteriores.

(a) mdc(624, 504, 90) Resposta: 6
Pelo processo anterior acha-se o mdc(624, 504) que é 24. A seguir acha-se o mdc(24, 90) que é 6.

(b) mdc(285, 675, 405)
mdc(285, 675) = 5; mdc(5, 405) = 5. Resposta: 5.

(c) mdc(209, 299, 102)
mdc(209, 299) = 1 e mdc(1, 102) = 1. Resposta:- 1.

(d) mdc(69, 398, 253)
mdc(69, 398) = 23 e mdc(23, 253) = 23. Resposta: 23

03 – Usando o algoritmo de Euclides, achar os inteiros x e y que verifiquem cada uma das seguintes igualdades:

Observação: usaremos sentenças de mesma cor para indicar a origem dos dados substituídos.

(a) mdc(56, 72) = 56x + 72y mdc(56, 72) = 8 è resolver 8 = 56x + 72y 72 = 56.1 + 16 56 = 16.3 + 8 16 = 8.2 + 0	Tomando a penúltima igualdade; 8 = 56 – 16.3. Tirando o valor de 16 na primeira igualdade e substituindo na penúltima: 8 = 56 – (72 – 56.1).3 è 8 = 56 + 56.3 – 72.3 8 = 56.4 + 72(-3). Portanto, x = 4 e y = -3.
(b) mdc(24, 138) = 24x + 138y mdc(24, 138) = 6 è resolver 6 = 24x + 138y 138 = 24.5 + 18 24 = 18.1 + 6 18 = 6.3 + 0 (mdc = 6)	6 = 24 – 18.1 6 = 24 – (138 – 24.5).1 6 = 24 + 24.5 – 138.1 6 = 24.6 + 138(-1) è x = 6 e y = -1
(c) mdc(119, 272) Mdc(119, 272) = 17 272 = 119.2 + 34 119 = 34.3 + 17 34 = 17.2 + 0	17 = 119 – 34.3 17 = 119 – (272 – 119.2).3 = 119.7 – 272.3 17 = 119.7 + 272(-3) . Portanto, x = 7 e y = -3
(d) mdc(1769, 2378) = 1769x + 2378y mdc(1769, 2378) = 29 2378 = 1769 .1 + 609 1769 = 609.2 + 551 609 = 551.1 + 58 551 = 58.9 + 29 58 = 29.2 + 0	29 = 551 – 58.9 29 = 551 – (609 – 551.1) = 551.2 – 609 29 = (1769 – 609.2).2 – 609 = 1769. 2 – 609.5 29 = 1769.2 – (2378 – 1769.1).5 29 = 1769.7 + 2387(-5) è x = 7 e y = -5.

04 – Achar os inteiros x e y que verifiquem cada uma das seguintes igualdades:

(a) 78x + 32y = 2.
78 = 32.2 + 14
32 = 14.2 + 4
14 = 2.7 + 0 è 2 = 32 – 14.2 è 2 = 32 – (78 – 32.2)2 è
è 2 = 32.5 + 78.(-2)
è x = 5 e y = -2.

(b) 104x + 91y = 13
104 = 91.1 + 13
91 = 13.7 + 0 è 13 = 104 – 91.1 è 13 = 104.(1) + 91.(-1)
è x = 1 e y = -1

(c) 31x + 19y = 7
mdc(31, 19) = 1
31 = 19.1 + 12
19 = 12.1 + 7
12 = 7.1 + 5
7 = 5.1 + 2
5 = 2.2 + 1 è mdc(31, 19) = 1
1 = 5 – 2.2 è 1 = 5 – (7 – 5.1)2 è 1 = 5.3 – 7.2 è
1 = (12 – 7.1)3 – 7.2 è 1 = 12.3 – 7.5 è 1 = 12.3 – (19 – 12.1).5 è
è 1 = 12.8 – 19.5 è 1 = (31 – 19.1).8 – 19.5 è 1 = 31.8 + 19(-13) è
è7 = 31.(8.7) + 19.(-13.7) è 7 = 31.(56) + 19.(-91)
è x = 56 e y = -91

(d) 42x + 26y = 16.
42 = 26.1 + 16
26 = 16.1 + 10
16 = 10.1 + 6
10 = 6.1 + 4
6 = 4.1 + 2
4 = 2.2 + 0 è mdc(42, 26) = 2.
2 = 6 – 4.1 è 2 = 6 – (10 – 6.1).1 è 2 = 6.2 – 10.1 è
è 2 = (16 – 10.1)2 – 10.1 è 2 = 16.2 – 10.3 è
è 2 = 16.2 – (26 – 16.1)3 è 2 = 16.5 – 26.3 è 2 = (42 – 26.1)5 – 26.3 è
è 2 = 42.5 + 26(-8)
è 16 = 8.2 = 42.(5.8) + 26.(8.-8) è 42.(40) + 26.(-64) è
è x = 40 e y = -64

(e) 288x + 51x = 3.
288 = 51.5 + 33 è 51 = 33.1 + 18 è 33 = 18.1 + 15 è
è18 = 15.1 + 3 è 15 = 3.5 + 0 è mdc(288, 51) = 3.
è3 = 18 – 15.1 è 3 = 18 – (33 – 18.1).1 è 3 = 18.2 – 33 è
è3 = (51 – 33.1).2 – 33 è 3 = 51.2 – 33.3 è
è 3 = 51.2 – (288 – 51.5).3 è 3 = 288.(-3) + 51.(17) è
è x = -3 e y = 17.

(f) 52x + 13y = 1
52 = 13.4 + 0 è 1 = 52.1 + 13.(-4) è
è x = 1 e y = 4.

(g) 145x + 58y = 87
145 = 58.2 + 29 è 58 = 29.2 + 0 è mdc(145, 58) = 29
29 = 145 – 58.2 = 145.(1) + 58.(-2) è 87 = 29.3 = 145.(1.3) + 58.(-2.3) è
è 87 = 145.(3) + 58.(-6) è
è x = 3 e y = -6

(h) 17x + 5y = -2
17 = 5.3 + 2 è 5 = 2.2 + 1 è mdc(17,5) = 1
1 = 5 – 2.2 è 1 = 5 – (17 – 5.3).2 è 1 = 5.7 – 17.2 è
1 = 5.(7) + 17.(-2) è -2 = -2.1 = 5.(7.-2) + 17.(-2.-2) è
è-2 = 5.(-14) + 17.(4) è
è x = -14 e y = 4.

Editado por Cesário José Ferreira